Пособие по проектированию жилых зданий. (к СНиП 2.08.01-85) Вып. 3 часть 2 - Примеры расчета плит перекрытия пример 9. опертая по трем сторонам многопустотная плита крупнопанельного здания

Пример 9. Опертая по трем сторонам многопустотная плита крупнопанельного здания (рис. 54).

Рис. 54. Схема к примеру расчета сборной многопустотной плиты, опертой по трем сторонам

Требуется определить расчетное армирование, проверить прочность, прогибы и трещиностойкость многопустотной плиты, опертой по двум коротким и одной длинной сторонам на стены крупнопанельного здания. Плита имеет комбинированное армирование: предварительно напряженной арматурой вдоль длинной стороны и сварной сеткой в двух направлениях.

Исходные данные. Размеры плиты 5980 ´ 3580 мм, толщина 220 мм. Диаметр пустот d = l40 мм, шаг пустот s_vac = 200 мм, количество пустот n = 17. Толщина ребер: крайнего - b_wo = 90 мм, промежуточного - b_w = 60 мм. Толщина (высота) верхней и нижней полок h¢_f = h_f =40 мм.

Плита после установки на нее перегородок защемляется на опорах в платформенных стыках стеновыми панелями. Глубина опирания плиты: по коротким сторонам 80 мм, по длинной стороне 100 мм.

Расчетные пролети плиты: l₁ = 5980 - 2 × 0,5 × 80 = 5900 мм; l₂ = 3580 - 0,5 × 100 = 3530 мм; l = l₂/l₁ = 0,6.

Бетон плиты тяжелый класса по прочности на сжатие В20. Сопротивления бетона R_b,ser = 15 МПа, R_bt,ser = 1,4 МПа, R_b = 11,5 × 0,9 = 10,3 МПа, R_bt = 0,9 × 0,9 = 0,81 МПа. Начальный модуль упругости бетона E_b = 24000 МПа.

Напрягаемая арматура из стали класса Ат-V диаметром 10 - 12 мм, для которой R_s,ser = 785 МПа, R_sp = 680 МПа, Е_sp = 190 000 МПа, цена 1 т - 181 руб.

Ненапрягаемая арматура из проволоки класса Вр-I диаметром 5мм, для которой R_s,ser = 395 МПа, R_s =360 МПа, Е_s = 170000 МПа, цена 1 т - 202 руб.

Защитные слон: для напрягаемой арматуры - 25 мм, для ненапрягаемой арматуры - 15 мм.

Нагрузка на плиту равномерно распределенная.

Нормативная нагрузка на 1 м плиты: от собственного веса плиты 4 кН; от веса пола 0,1 кН, от веса перегородок 1,3 кН, временная нагрузка 1,5 кН, в том числе длительная 0,3 кН.

Расчетные нагрузки с учетом коэффициента надежности по назначению g_n = 0,95:

при расчете прочности

q = (1,1×4 + 1,2×0,1 + 1,1×1,3 + 1,3×1,5) 0,95 = 7,5 кН/м² = 7,5×10^-3 Н/мм²;

при проверке трещиностойкости

q_1n = (4 + l,3) 0,95 = 5,0 кН/м² = 5×10^-3 Н/мм²;

q_2n = (0,1 + 1,5) 0,95 = 1,52 кН/м² = 1,52×10^-3 Н/мм²;

при проверке прогибов и раскрытия трещин

q_1l = q_1n = 5 кH; q_2l = (0,1 + 0,3) 0,95 = 0,4 кH/м² = 0,4×10^-3 Н/мм².

Проверка прочности плиты вдоль пустот. Моменты инерции бетонного сечения плиты:

при изгибе вдоль пустот

I = l₂h³/12 ‑ npd⁴/64 = 3530×220³/12 ‑ 3,14×17×140⁴/64 = 2,79/10⁹ мм;

при кручении

Вычисляем безразмерный параметр

Приведенные толщины полок h_f,red = h¢_f,red = h₁ + 0,0569d = 40 + 0,0569×140 = 48 мм.

Прочность плиты по сечению вдоль средней по ее ширине пустоты без армирования проверяем по условию

Так как q = 7,5 кН/м², то прочность без армирования не обеспечена. Необходимо предусмотреть установку арматуры.

Определение требуемой по условиям прочности арматуры. При расчете прочности плита считается свободно опертой по трем сторонам (двум коротким и одной длинной). Частичное защемление плиты в платформенных стыках не учитываем в запас прочности.

Расчетные высоты сечения соответственно вдоль пролетов l₁, l₂: h₀₁ = 220 ‑ 25 ‑ 0,5 × 10 = 190 мм; h₀₂ = 220 ‑ 15 ‑ 0,5 × 5 = 208 мм. Вдоль пролета l₁ плита имеет комбинированное армирование. Примем предварительно, что площади напряженной и ненапряженной арматуры вдоль пролета имеют соотношение 3:1. Тогда для комбинированного армирования приведенное сопротивление арматуры R_s1 = (3R_sр + R_s)/4 = (3 × 680 + 360)/4 = 600 МПа, приведенная цена 1 т C_s1 = (3 × 181 + 202)/4 = 186 руб.

Для арматуры вдоль пролета l₂ R_s2 = 360 МПа, C_s2 = 202 руб. Определяем коэффициент g_s = (R_s2C_s1)/(R_s1C_s2) = (369 × 186)/(600 × 200) = 0,56.

Изгибающий момент от расчетной нагрузки в среднем сечении при опирании плиты по балочной схеме по двум коротким сторонам М₀ = ql₁²l₂/8 = 7,5 × 5,9² × 3,530/8 = 115,2 кН×м = 115,2×10⁶ Н×мм.

Проверим условие l² > 0,25g_sh₀₂/h₀₁. Имеем l² = 0,6² = 0,36 > 0,25 × 0,56 × 202/190 = 0,15.

Условие выполнено.

Определим оптимальное по условию прочности армирование плиты: v_opt = 0,5g_sh₀₂/(lh₀₁) = 0,5 × 0,52 × 202/(0,6 × 190) = 0,495;

М₂ = М₀v²_opt/(3l) = 115,2 × 0,495²/(3 × 0,6) = 15,7 × 10⁶ Н×мм.

Определим требуемое армирование плиты. Высота сжатой зоны бетона

Так как х₁ = 21,8 мм < h¢_f = 40 мм и х'₂ = 1,28 мм < h¢_f = 40 мм, то сжатая зона проходит в пределах толщины полки. Поэтому требуемую площадь арматуры определяем как для прямоугольного сечения по формулам: A_s1 = x₁l₂R_b/R_s1 = 12,5 × 3530 × 10,3/600 = 757 мм²; А_s2 = x₂l₁R_b/R_s2 = 1,28 × 5900 × 10,3/360 = 216 мм².

Ранее было принято, что площадь предварительно напряженной арматуры вдоль пролета l₁ составляет 3/4 площади поперечного сечения всей арматуры в этом направлении. Тогда требуемая площадь предварительно напряженной арматуры А_р = 0,75 × 757 = 568 мм².

Принимаем 8 стержней диаметром 10 мм из стали класса Ат-V, площадь сечения A_p1 = 628 мм².

Требуемая площадь ненапряженной арматуры вдоль пролета l₁ А_s1 = A^red_s1 - A_р1 = 757 ‑ 628 = 129 мм².

Принимаем 7 стержней диаметром 5 мм из проволоки класса Вр-1, площадь сечения A_s1 = 137 мм² (шаг 400 мм).

Вдоль пролета l₁ принимаем 16 стержней диаметром 5 мм из проволоки класса Вр-1, площадь сечения 313 мм (шаг 400 мм).

Проверка прочности ребер на срез. Расстояние по горизонтали от оси опоры плиты до центра первой пустоты S_o = (b_wo + d)/2 = (90 + 140)/2 = 115 мм.

Прочность крайнего опорного ребра проверяем по формуле

Так как q = 7,5 кН/м², то условие прочности для крайнего ребра выполнено.

Прочность ближайшего к опоре промежуточного ребра проверяем по формуле

Так как q = 7,5 кН/м², то условие прочности для первого промежуточного ребра выполнено.

Расчет по образованию трещин. Нормальные трещины при изгибе плиты не возникают, если выполняется условие М £ М_сrс, где М - изгибающий момент от нормативной нагрузки в сечении, для которого проверяется возможность образования трещин; M_сrc - момент, воспринимаемый сечением при образовании трещин.

Изгибающий момент М определим с учетом двух стадий работы плиты до и после защемления стенами.

По рис. 49 a₁ = 0,073, a₂ = 0,033, a₃ = 0,08. Тогда изгибающие моменты в среднем (М_п) и опорном (М^о_п) сечениях от нормативной нагрузки равны: М_п = (a₁q₁n + a₂q₂n)l₂l²₁ = 0,073 × 5 × 10^-3 + 0,033 × 1,52 ´ 10^-3)3530 × 5900² = 51 × 10⁶ Н×мм; М^о_п = 1,1a₃q₂n l₂l²₁ = 1,1 × 0,08 × 1,52 ´ 10^-3 × 3530 × 5900² = 16,4 × 10⁶ Н×мм².

Проверим возможность образования трещин в середине пролета l₁. Вдоль этого пролета плита имеет предварительно напряженное армирование. Поэтому момент М_сгс определяем по формуле М_сгс = R_bt,serW_pl + P(e_op + r), где W_pl - момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна с учетом неупругих деформаций растянутого бетона; Р - усилие предварительного напряжения за минусом всех потерь; e_op - эксцентриситет усилия предварительного обжатия Р относительно центра тяжести приведенного сечения; r - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от проверяемой растянутой грани сечения.

Для проверки трещиностойкости плиты при ее изгибе вдоль пролета l₁ примем расчетное двутавровое сечение, в котором круглые пустоты заменены эквивалентными по площади квадратными со стороной а = 124 мм.

Расчетное сечение имеет следующие геометрические размеры: b_f = b¢_f = l₂ = 3530 мм, b = l₂ ‑ na = 3530 - 17 × 124 = 1422 мм; h_f = h¢_f = h_red = 48 мм. Вычислим параметры: y₁ = (b_f ‑ b)h_f/(bh) = (3530 - 1422)48/(1422 × 220) = 0,323; y¢₁ = 2y₁ = 2 × 0,323 = 0,647.

Так как коэффициент армирования плиты вдоль пролета l₁ m = (628 + 156)/(220 × 3530) = 0,001 < 0,01, то момент сопротивления W_pl определяем без учета влияния арматуры по формуле W_pl = (0,292 + 0,75y₁ + 0,057y¢₁) = (0,292 + 0,75 × 0,323 + 0,075 × 0,647) 122 × 220² = 4,01 × 10⁷ мм³.

Для определения усилия предварительного натяжения Р необходимо задать начальное значение напряжения арматуры s_sp и вычислить потери натяжения. Примем, что натяжение арматуры осуществляется электротермическим способом на упоры, при котором рекомендуется назначить напряжение s_sp из условия s_sp = R_s,ser - р, где R_s,ser = 785 МПа; р = 30 + 360/l = 30 + 360/6 = 90 МПа (l = 6м - длина натягиваемого стержня, м). При максимально допустимом предварительном напряжении арматуры s_sp = 785 - 90 = 685 МПа.

Определим первые потери предварительного напряжения: потери от релаксации s₁ = 0,03s_sp = 0,03 × 695 = 21 MПa; потери от температурного перепада Dt между температурами нагреваемого стержня и упоров; величины Dt примем по СНиП 2.03.01-84, равными 65 °С, тогда s₂ = 1,25 Dt = 1,25 × 65 = 81 МПа;

потери s₃ = s₄ = s5 = 0;

потери от быстронатекающей ползучести s₆ определяется в зависимости от значения напряжений в бетоне s_bp на уровне центра тяжести напряженной арматуры с учетом потерь s₁ ... s₅. Для определения напряжений s_bp вычислим следующие величины:

усилие предварительного напряжения за минусом потерь s₁ ... s₅

площадь приведенного сечения А_red = 3530 × 202 - 17 × 124² = 5,19 ´ 10⁵ мм²;

эксцентриситет усилия в предварительно напряженной арматуре относительно центра тяжести приведенного сечения е_ор = у_red ‑ a_p = 110 - 30 = 80 мм;

изгибающий момент от собственного веса плиты в ее среднем сечении при изгибе по балочной схеме вдоль пролета l₁ Mg = gl₂l²₁/8 = 4 × 10^-3 × 3530 × 5900² = 6,14-10⁷ Н×мм (g = 4 кН/м² = 4 × 10^-3 Н/мм² - распределенная нагрузка от собственного веса плиты).

Тогда s_bp = P₁/A_red + (P₁e_op ‑ Mg)e_op/I = (3,725 × 10⁵/5,15 × 10⁵ + (3,725 × 10⁵ × 80 ‑ 6,14 × 10⁷) × 80/2,79 × 10^o = ‑ 0,182 МПа.

Знак «минус» означает, что напряжения растягивающие. В этом случае потери напряжения s₆ = 0.

Первые потери предварительного напряжения

Определим теперь вторые потери предварительного напряжения:

потери от релаксации напряженной арматуры при натяжении на упоры s_i = 0;

потери от усадки s_s = 40 MПа;

потери от ползучести бетона не учитываем, так как напряжения s_bр растягивающие.

Тогда вторые потери

Суммарные потери s = 102 + 40 = 142 МПа > 100 МПа. Поэтому найденное значение потерь не увеличиваем.

С учетом всех потерь усилие обжатия

Расстояние r определяем как для упругого тела по формуле r = I (y_redA_red) = 2,79 × 10⁹/(110 × 5,15 × 10⁵ = 49,2 мм.

С учетом найденных величин M_crc = l,4 × 4,01 × 10⁷ + 3,47 × 10⁵(80 + 49,2) = 101 × 10⁶ H×мм > М_n = 51 × 10⁶ Н×мм. Трещины в пролете не образуются.

Проверим теперь возможность образования трещин на опоре при защемлении плиты стенами. Так как изгибающий момент M^o_crc = R_bt,serI/y_red = 1,4 × 2,79 × 109/110 = 35,5 × 10⁶ Н×мм > M^o_n = 16,4 ´ 10⁶ Н×мм, то трещины на опоре не образуются.

При проверке прочности плиты на изгиб вдоль пролета l₂ было установлено, что возможно образование трещин вдоль пустот. При проверке трещиностойкости плиты необходимо вместо расчетной принять нормативную нагрузку на плиту q_n, а вместо расчетного сопротивления бетона растяжению R_bt ¾ величину R_bt,ser.

Условно образования трещин

Так как q_n = q_n1 + q_n2 = (5 + 1,52)10^-3 = 0,00652 Н/мм², то при проверке по второй группе предельных состояний трещины вдоль пустот не образуются.

Проверка прогибов плиты. Так как в плите при действии нормативных нагрузок трещины не образуются, то прогибы определяем как для упругого тела. В первом приближении прогибы определим как для плиты, свободно опертой по двум коротким сторонам по формуле

Прогиб, подсчитанный для балочной схемы опирания, меньше предельно допустимого. Поэтому нет необходимости уточнять значение прогиба плиты с учетом опирания по трем сторонам и защемления на опорах.